夢の形を数学で捉える：位相的データ解析が切り拓く新しい夢研究

「コーヒーカップとドーナツは、トポロジーでは同じ」、これは数学の一分野である位相幾何学でよく引き合いに出される豆知識です。

穴の数など、連続的に変形しても変わらない性質が等しいからなのですが、この考え方が今、夢の研究に新しい風を吹き込もうとしています。

2025年、Nature Communicationsに掲載された既存研究では、脳波（EEG）から夢を見ているかどうかを判定する精度はAUC（指標の一つ）で約0.70と報告されていました。

これは、主に信号のパワー（周波数ごとの強さ）や統計量に頼ったアプローチでした。

しかし、新たに登場した『PHINN-EEG（Persistent Homology Inspired Neural Network for EEG）』という枠組みは、まったく異なる視点を提供します。

それは「かたち」、つまり脳活動の幾何学的な構造を捉えようというものです。

夢の電気信号、これまでの見え方

脳波は、頭皮に電極を置いて記録される電気的な揺らぎです。

夢研究中では、被験者がレム睡眠中に起こされて「夢を見ていたか、どんな内容だったか」を報告する方法が取られます。

従来は、この覚醒前の脳波データからパワースペクトル密度（PSD）と呼ばれる特徴を計算し、機械学習で分類していました。

PSDは「どの周波数帯の波がどれだけ強いか」を表し、てんかんの診断などにも使われる手堅い手法です。

しかし、脳活動の複雑なパターンをエネルギー量だけで評価するには限界があり、精度の頭打ちが指摘されていました。

PHINN-EEGが導入したのは、パーシステントホモロジーという位相的データ解析の手法です。

簡略化して言えば、データの点群が作る「穴」の数やその生まれて消える寿命を追いかけることで、データの大局的なつながり具合を調べる技術です。

ここでは、多チャンネルの脳波を時間方向に切り出し、時間遅延埋め込み（Takensの埋め込み）を使って高次元の点集合に変換します。

この点集合に、距離を閾値として徐々に連結していくフィルトレーションと呼ばれる処理を施し、「動的ベッチ曲線（Dynamic Betti Curves）」を算出します。

ベッチ数とは位相幾何学で「穴」の数を数える不変量で、これが時系列に沿って変化する様子を曲線化したものです。

この曲線からは、脳波の単なるエネルギーでは捉えられない、空間的な協調構造や過渡的なつながりの情報が浮かび上がります。

研究チームの主張によれば、これらの位相的特徴を使うことで、AUCは0.82〜0.90に向上する見込みとのこと。

1,462回の覚醒エピソードを含む公開データセットでの検証が行われており、まさにパラダイムシフトを起こす可能性を秘めています。

さらにPHINN-EEGは、夢状態の脳波を人工的に合成する生成モデルも提案しています。

トポロジー条件付きの整流フローモデルと呼ばれるもので、与えられたベッチ曲線パターンから、それに合致する脳波信号を生成できます。

従来のスペクトル条件のみに基づく生成と比較することで、位相情報が持つ優位性を浮き彫りにしようという狙いです。

もしこれが精緻に働けば、たとえば特定の夢カテゴリ（景色が変わる夢、落下する夢など）に典型的な位相パターンを特定し、それに対応する脳波を生成するという、いわば「夢の形をしたデータ」の創出も可能になるかもしれません。

もちろん、これはまだ仮説段階であり、夢の内容とベッチ曲線の明確な対応関係（ベッチ遷移アーキタイプ）は、これからの実証を待つ必要があります。

しかし、携帯型脳波計が身近になりつつある今、こうしたトポロジーベースの解析が実用化されれば、ウェアラブルデバイスによる夢の自動記録や、クリエイティブなアイデアの源泉へのアクセスといった応用も夢物語ではなくなるでしょう。

脳波を「エネルギー」から「かたち」で読み解く試みは、私たちの内なる夜の世界を、より立体的に映し出す鏡になるのかもしれません。